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Laufen und Rechnen Rauf und runter

Läuferrätsel 02/10: Rauf und runter +
Foto: Runner's World

Die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken lassen sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

DIE AUFGABE:

Eine Laufstrecke ist auf einer Karte im Maßstab 1:50.000 genau 20 cm lang. Auf den ersten 6 Zentimetern hat sie ein Gefälle von 3 Prozent, dann verläuft sie 4 Zentimeter lang gerade und 4 Zentimeter mit einer Steigung von 5 Prozent, anschließend geht es bis zum Ziel mit einer Steigung von 10 Prozent bergauf. Wie lang ist die Strecke in der Realität?

DIE LÖSUNG:

Wäre die Strecke flach, hätte sie eine Länge von
50.000 x 20 cm = 1.000.000 cm = 10.000 m = 10 km.

Durch die fallenden und steigenden Abschnitte ist sie insgesamt etwas länger.

Wir rechnen abschnittsweise aus, wie lang die Strecke in der Wirklichkeit ist:

1. Abschnitt: 6 cm ≙ 3.000 m

3 % Gefälle heißt, dass die Strecke auf 1000 Metern (waagerecht) 30 Meter (3 % von 1000 m) fällt, auf 3.000 m entsprechend 90 Meter.

Die zu laufende Strecke ist die schräge Seite AB des Dreiecks, die wir mit dem Satz von Pythagoras ausrechnen:

AB² = 3.000² + 90² = 9.000.000 + 8.100 = 9.008.100

Auf beiden Seiten Wurzelziehen ergibt:

AB = 3.001,35

Also ist der erste Abschnitt 3.001,35 m lang.


2. Abschnitt: 4 cm ≙ 2 km, keine Steigung bzw. Gefälle, also ist der zweite Abschnitt BC genau 2.000 m lang.


3. Abschnitt: 4 cm ≙ 2 km

5 % Steigung, also geht es auf 2 km 100 m hoch.

Die Seite CD rechnen wir wieder mit dem Satz des Pythagoras aus:

CD² = 2.000² + 100² = 4.000.000 + 10.000 = 4.010.000

Auf beiden Seiten Wurzelziehen ergibt:

AB = 2.002,50

Also ist der dritte Abschnitt 2.002,50 m lang.


4. Abschnitt: 6 cm ≙ 3 km

10 % Steigung, also geht es auf 3 km 300 m hoch.

Satz des Pythagoras für die Seite DE:

DE² = 3.000² + 300² = 9.000.000 + 90.000 = 9.090.000

Auf beiden Seiten Wurzelziehen ergibt:

AB = 3.014,96

Also ist der vierte Abschnitt 3.014,96 m lang.


Alle Abschnitte zusammen sind demnach
3.001,35 m + 2.000 m + 2.002,50 m + 3.014,96 m
= 10.018,81 m = 10,019 km lang.

Die Strecke ist in Wirklichkeit 10,019 km lang.
11.02.2010
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